PROBABILIDAD

 

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral

A los experimentos , que se caracterizan porque al repetirlos bajo análogas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado los llamaremos experimentos deterministas.Estos son típicos de las ciencias, como arrojar un objeto y medir su aceleración, o dejar caer un objeto desde la misma altura y medir el tiempo que tarda en llegar al suelo.


Por el contrario, llamaremos experimentos aleatorios a aquellos que al repetirlos en análogas condiciones, jamás se puede predecir el resultado que se obtiene. Como por ejemplo tenemos el lanzamiento de una moneda, de un par de dados, etc.

Espacio muestral (E) de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.

Al espacio muestral de un experimento lo designaremos por E.
Cada uno de los elementos que forman el espacio muestral se llama punto muestral.

Ejercicios resueltos:
1.El espacio muestral asociado al experimento de lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior es
E = {C,X}

2. El experimento consiste en lanzar dos monedad sobre una mesa y anotar los resultados de las caras superiores tiene por espacio muestral el siguiente:

E = {CC,CX, XC,XX}
Una forma sencilla de obtener en estos casos el espacio muestral es mediante un diagrama de árbol , como se indica a la derecha.



2. Suceso aleatorio

El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6 es :

E = {1,2,3,4,5,6}

Consideremos ahora algunos subconjuntos de E; por ejemplo:

Salir par: A = {2,4,6}
Salir impar: B = {1,3,5}
Salir múltiplo de 3: C = {3,6}
A todos estos subconjuntos de E se les llama sucesos

Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muéstral E.


Ejercicios resueltos

1.Determinar el espacio muestral y el espacio de sucesos del experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior.

Espacio muestral: E = {C,X}
Espacio de sucesos S = {Ø,{C},{X},{C,X}}

2. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado de quinielas y anotar el símbolo que aparece en la cara superior. Hallar el espacio muestral y el espacio de sucesos.

Espacio muestral: E = {1,X,2}
Espacio de sucesos S = {Ø,{1},{X},{2},{1,X},{1,2},{2,X},{1,X,2}}

3.En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española consideremos el suceso A = "Salir figura". ¿Cuándo diremos que se ha realizado el suceso A?

Decimos que se ha realizado el suceso A, si al extraer una carta obtenemos cualquiera de las cuatro sotas, o de los cuatro caballos o de los cuatro reyes. Si la carta extraída no es ninguna de estas , decimos que el suceso A no se ha realizado.


3. Distintos tipos de sucesos


Sucesos elementales:
Se llama sucesos elementales a los sucesos formados por un solo punto muestral; es decir, por un solo resultado del experimento aleatorio

Sucesos compuestos:
Se llama sucesos compuestos, a los sucesos formados por dos o más puntos muestrales; es decir, por mas de un resultado del experimento.

Suceso cierto:
Se llama suceso cierto, o suceso seguro, al que siempre se realiza.
Es evidente que el suceso cierto, estará formado por todos los resultados posibles del experimento; es decir , coincide con el espacio muestral y por eso lo representaremos también por la letra E.

Suceso imposible:
Se llama suceso imposible , y se designa por un Ø , a un suceso que no se realiza nunca.
Recuérdese que cuando se formaba el espacio de sucesos S, de un experimento aleatorio, aparecería siempre el suceso Ø, ese es precisamente el suceso imposible.

Sucesos contrarios:
Consideremos el espacio muestral asociado al lanzamiento del dado,
E = {1,2,3,4,5,6}, y los siguientes sucesos:
A ="salir número impar" = {1,3,5}
Ā= "salir número par" ={2,4,6}

Los sucesos A y Ā son contrarios , ya que si se realiza A no se realiza Ā y si se realiza Ā no se realiza A.

 

Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario del suceso A a un suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recíprocamente.

 

3. Operaciones con sucesos



Unión de sucesos
 

AUB={2,3,4,5,6}

Veamos en primer lugar un ejemplo: consideremos , en el experimento aleatorio del lanzamiento del dado, cuyo espacio muestral es
E = {1,2,3,4,5,6}, de los siguientes sucesos:

A ="salir número par" = {2,4,6}
B = "salir número primo" ={2,3,5}
Formemos el suceso C, "salir número par  o  numero primo". Este suceso es
C ={2,3,4,5,6}
Y se llama suceso unión de A y B. (observe que la unión se relaciona con el operador lógico O)

 

Dados dos sucesos Ay B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando se realiza A o B y se representa por A U B

El suceso A unión B se representa por A U B , o también A y de B.
El suceso A U B esta formado por los puntos muestrales de A y de B.

Intersección de sucesos. Sucesos incompatibles


 
Intersección de sucesos

Consideremos nuevamente los sucesos A y B del ejemplo anterior:

A ="salir número par" = {2,4,6}
B = "salir número primo" ={2,3,5}
Formemos el suceso D, "salir número par y primo".Este suceso es:

D = {2}

Y se llama suceso de intersección de A y B.
 
 

A∩B


 

Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio , llamaremos suceso de intersección de A y B al suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente los sucesos A y B
 

El suceso A intersección B se representa por A∩B, también A y B.
El suceso A∩B esta formado por los puntos muestrales comunes a los sucesos A y B. Observe que la intersección tiene mucha relación con el operador lógico Y -Λ-.

SUCESOS INCOMPATIBLES
En los ejemplos anteriores hemos visto que en algunas ocasiones la intersección de dos sucesos es el suceso imposible. Cuando esto ocurre, es decir, cuando es imposible que dos sucesos se realicen simultáneamente , decimos que dichos sucesos son incompatibles.
Es decir, datos dos sucesos Ay B de un mismo experimento aleatorio, se tiene que:
 

Sucesos incompatibles

 

Si A∩B = Ø, entonces A y B son incompatibles.

Si A∩B ≠ Ø, entonces A y B son compatibles.

Obsérvese que un suceso y su contrario son incompatibles

 
  Sucesos compatibles

5. Sistema completo de suceso
en el experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dado, cuyo espacio muestral es E = {1,2,3,4,5,6} consideremos los siguientes sucesos:
A = { 1,2,6},  B ={3,4},  C ={5}

Es fácil observar que estos sucesos cumplen las siguientes propiedades :

1.   A U B U C = E
2.  A , B ,C son incompatibles dos a dos.

A un conjunto de sucesos que cumpla estas dos condiciones lo llamaremos Sistema completo de sucesos.
 

 

De una manera general, se dice que los sucesos A1, A2..., An constituyen un sistema completo de sucesos para un determinado experimento aleatorio , si se verifica:
1.° A1 U A2 U A3 U...U An = E
2° A1, A2, A3..., An son incompatibles dos a dos.
 

6. Experimentos compuestos


Experimento compuesto

Consideremos un experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dado y una moneda. En realidad se trata de dos experimentos simples: el lanzamiento del dado y el lanzamiento de la moneda.
A estos experimentos formados por varios experimentos simples se les llama Experimentos Compuestos.
Espacio compuesto
El espacio muestral asociado al experimento compuesto consistente en el lanzamiento de un dado y una moneda es:


E = {(1,C), (2,C), (3,C), (4,C),(5,C), (6C),(1,X), (2,X), (3,X), (4,X),(5,X), (6X)}
Este espacio muestral se obtiene formando el producto cartesiano de los siguientes conjuntos:

Al espacio muestral E así obtenido se le llama espacio compuesto o espacio producto
 

Definición clásica de probabilidad.

 

"La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles".

Si indicamos la probabilidad del seceso A por p(A), podemos expresar esta definición como:

 

Ejercicios Resueltos

1. Se considera un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado se pide la probabilidad de obtener:

a) Número impar
b) Número primo
c) Múltiplo de 3.
d) Múltiplo de 5.

Primeramente formamos el espacio muestral del experimento:

E ={ 1,2,3,4,5,6}

Luego el número de casos posibles es 6.
 

A continuación formamos los sucesos cuya probabilidad nos piden:
a) A= " obtener impar" = {1,3,5}→ p(A) = 3/6
b) B= " obtener número primo" = {2,3,5} → p(B) = 3/6
c) C= " obtener múltiplo de 3" = {3, 6}→  p(B) = 2/6
d) D ="obtener múltiplo de 5 " = {5} → p(D)= 1/6

2. se realiza un experimento aleatorio que consiste en la extracción de una carta de una baraja española .Se pide hallar las siguientes probabilidades:

a) "Obener un oro"

b) "Obtener un as"

El espacio muestral del experimento está formado por los 40 resultados posibles correspondientes a cada una de las cartas de la baraja. A continuación formamos los sucesos de los cuales nos piden estimar la probabilidad.

a) O = "Obtener un oro" = {1,2,3,4,5,6,7,S, C, R} → p (O) = 10/40 = 1/4
b) A = "Obtener un as" = { 1E, 1C, 1B,10} → p (A) = 4/40 = 1/10

En este caso los súbíndices son E =Espada, C = Copas, B = Bastos, O = Oro


3. consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos datos y anotar la suma de los puntos de las caras superiores. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Obtener suma de igual a 8 .
b) Obtener suma menor o igual a 4

Primeramente construimos el espacio muestral del experimento:

E= {(1,1),(1,2), (1,3),..,(2,2), (2,3),...,(6,1),...,(6,6)}

Por tanto, el número de casos posibles es 36.
A continuación formamos los sucesos cuya probabilidad nos piden :

a) S8 = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}→ p (S8) = 5/36
b) S≤4= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(2,2),(3,1)} → p ( S≤4) =6/36 = 1/6

Definición axiomática de probabilidad

Se llama probabilidad a una ley (función o aplicación) que asocia a cada caso suceso A, del espacio de sucesos, un número real que llamamos probabilidad de A y representamos por p(A), que cumple los siguientes axiomas :

1. la probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula:

p(A) ≥ 0

2. la probabilidad del suceso cierto es igual a la unidad :

p(E) =1

3. la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Si A y B son incompatibles, p(AUB) = p(A) + p(B).

 

Algunas consecuencias de los axiomas


Vamos a estudiar en este apartado algunas de las consecuencias más importantes que se deducen de la definición axiomática de probabilidad.

1. Probabilidad del suceso contrario

 
La probabilidad del suceso Ā, contrario del suceso A, es igual a 1 menos la probabilidad del suceso A.
 

p(Ā) = 1 - p(A)
 

En efecto, como A U Ā = E y además A y Ā son incompatibles, resulta:

1= p(E) =p(A U Ā )=p(A)+p(Ā ), de donde, p(Ā )=1 – p (A)

En muchas ocasiones , el calculo de la probabilidad del suceso contrario Ā es más fácil que el de A. En estos casos es conveniente calcular primero la probabilidad p(Ā ) y a continuación aplicar la fórmula p(A)=1 -p (Ā ).

2. probabilidad del suceso imposible

la probabilidad del suceso imposible es cero.

p(Ø) = 0

En efecto, como el suceso imposible es el contrario del suceso cierto y p(E)=1, por el axioma segundo se tiene:

 

       _

         _

        
p(Ø ) = p (E ) =1 - p(E) =1-1 =0  

3. Relación entre las probabilidades de dos sucesos cuando uno está contenido en otro

 

Si un suceso A está contenido en otro suceso B, entonces p(A) es menor o igual a p(B), es decir :

Si A

   





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